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弗里德里希·古尔达《巴赫平均律钢琴曲集》第二卷 曲目及相关知识

来源:网络  作者:佚名  时间:2019-11-02    提示:文中图片可全屏

  弗里德里希·古尔达 - 巴赫:平均律钢琴曲集 第二卷

  Friedrich Gulda - Bach: Well-Tempered Clavier Book 2

  条码:0028944654524

  编号:

  演奏:Friedrich Gulda, piano 弗里德里希·古尔达/钢琴

  厂牌:Decca

  日期:1995年10月17日

  曲目:

  CD 1

  Total Playing Time  :

  Johann Sebastian Bach (1685-1750) 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫

  01 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.1 in C-dur 02:16

  02 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.1 in C-dur 01:48

  03 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.2 in c-moll 01:39

  04 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.2 in c-moll 03:42

  05 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.3 in Cis-dur 01:42

  06 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.3 in Cis-dur 01:56

  07 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.4 in cis-moll 03:31

  08 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.4 in cis-moll 01:53

  09 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.5 in D-dur 03:10

  10 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.5 in D-dur 03:13

  11 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.6 in d-moll 01:28

  12 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.6 in d-moll 01:44

  13 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.7 in Es-dur 02:54

  14 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.7 in Es-dur 02:51

  15 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.8 in es-moll 02:03

  16 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.8 in dis-moll 05:09

  17 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.9 in E-dur 05:06

  18 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.9 in E-dur 04:03

  19 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.10 in e-moll 02:44

  20 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.10 in e-moll 02:20

  21 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.11 in F-dur 02:12

  22 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.11 in F-dur 01:54

  23 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.12 in f-moll 05:12

  24 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.12 in f-moll 03:16

  25 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude No.13 in Fis-dur 03:05

  26 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue No.13 in Fis-dur 02:44

  CD 2

  Total Playing Time  :

  Johann Sebastian Bach (1685-1750) 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫

  01 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 14 03:16

  02 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 14 07:17

  03 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 15 03:19

  04 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 15 01:45

  05 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 16 02:51

  06 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 16 02:53

  07 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 17 04:02

  08 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 17 02:42

  09 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 18 05:46

  10 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 18 02:36

  11 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 19 02:14

  12 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 19 01:42

  13 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 20 04:45

  14 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 20 01:56

  15 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 21 06:47

  16 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 21 02:05

  17 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 22 04:21

  18 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 22 07:03

  19 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 23 01:41

  20 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 23 03:48

  21 The Well-Tempered Clavier, Book II: Prelude 24 03:03

  22 The Well-Tempered Clavier, Book II: Fugue 24 02:24

  十二平均律

  Well-Tempered Clavier

  十二平均律,亦称“十二等程律”,世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制,各相邻两律之间的振动数之比完全相等。十二平均律是指将八度的音程(二倍频程)按频率等比例地分成十二等份,每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。将一个八度分成12等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程的两个音的频率比(即2的7/12次方)与1.5非常接近,人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律”的五度音程的差别。十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用,现在的钢琴即是根据十二平均律来定音的。

  简介

  十二平均律,又称“十二等程律”,是一种音乐定律方法,将一个八度平均分成十二等份,每等分称为半音,是最主要的调音法。

  “十二平均律”的纯四度和大三度,两个音的频率比分别与4/3和5/4比较接近。也就是说,“十二平均律”的几个主要的和弦音符,都跟自然泛音序列中的几个音符相符合的,只有极小的差别,这为小号等按键吹奏乐器在乐队中使用提供了必要条件,因为这些乐器是靠自然泛音级(自然泛音序列,其频率是基音频率的整数倍序列,成等差数列)来形成音阶的。半音是十二平均律组织中最小的音高距离,全音由两个半音组成。1-Ⅰ之间分成12份。具体1-2全音,2-3全音,3-4半音,4-5全音,5-6全音,6-7全音,7- i半音。

  十二平均律在交响乐队和键盘乐器中得到广泛使用,钢琴即是根据十二平均律来定音的,因为只有“十二平均律”才能方便地进行移调。曲调由音阶组成,音阶由音组成。音有绝对音高和相对音高。声音是靠振动(声带、琴弦等)发出的,而振动的频率(每秒振动的次数),就决定了的音的绝对高度。不同的音有不同的振动频率。人们选取一定频率的音来形成音乐体系所需要的音高。

  十二平均律简而言之,就是把半根琴弦按照等比数列平均分成十二份。一根琴弦的长度设为1,可以表示为(1/2)^(0/12),第一品的位置是(1/2)^(1/12),第二品的位置是(1/2)^(2/12),依此类推,第n品的位置是(1/2)^(n/12)。因为这样的一组音是等比关系,所以无论从哪个位置开始弹起旋律都是一样的。

  例子

  钢琴是十二平均律制乐器。国际标准音规定,钢琴的a1(小字一组的a音,对应钢琴键是49A)的频率是为440Hz;又规定每相邻半音的频率比值为2^(1/12)≈1.059463,(解释:这表示“2的十二分之一次方”),根据这规定,就可以得出钢琴上每一个琴键音的频率。如与a1右边相邻#a1的频率是440×1.059463=466.16372Hz;再往上,b1的频率是493。088321Hz;c2的频率是523.25099 …… 同理,与a1左边相邻的#g1的频率是440&pide;1。059463=415.030473Hz …… 这种定音的方式就是“十二平均律”。

  钢琴上每相邻的两个琴键(黑白都算)的频率的差别,音乐上即为半音。比如说C和#C相差半音,C和D相差两个半音(或曰一个全音),以此类推。如果B再往上升半音,会发现这个音的频率刚好是C的两倍,而在音乐上称为一个八度,这两个音听起来“很相象”。用小写的c来表示它,依次有#c,d …… 再往上走可以用c1 …… ,c2 …… 来表示,而往下走可以用大写的C1 …… ,C2 …… 来表示。

弗里德里希·古尔达《巴赫平均律钢琴曲集》第二卷 曲目及相关知识

  历史

  据杨荫浏先生考证,从历史记载看中国在音乐实践中开始应用平均律,约在公元前二世纪,但平均律理论的出现,则是1584年明代朱载堉《律学新说》问世之时。实践与理论之先后出现,其间相去1685年。

  中国明代音乐家朱载堉于万历十二年(1584年)首次提出“新法密率”(见《律吕精义》、《乐律全书》),推算出以比率12√2(解释:这表示“2的十二分之一次方”)将八度音等分为十二等分的算法,并制造出新法密率律管及新法密率弦乐器,是世界上最早的十二平均律乐器。朱载堉(公元1536-1610年),字伯勤,号句曲山人,是明仁宗后裔、郑恭王朱厚烷之子。他不重爵位,潜心学术研究,著述宏富。万历十二年(公元1584年),他写成《律学新说》,提出了十二平均律的理论。

  律是指音阶中每个音的音高规律。至少在西周初期,中国就在一个音阶中确定十二个律了。十二平均律也叫十二等程律,它把一个音阶分为十二个相等的半音,使各相邻两律间的频率比都是相等的。故称十二平均律。在十二平均律发明之前,中国自春秋时期起,一直使用三分损益法确定管或弦的长度和发音高低之间的关系。由三分损益法计算出来的十二个律,相邻两律间的长度差(或频率差)不是都相同的,因此这种律又叫十二不平均律。同时,比基音高(或低)八度的音,只能约略地比基音高(或低)一倍,而不可能正好是一倍。如基音do的相对频率是一,高八度的do音的相对频率不是二,而是略高于二,其间存在着一定的差数。这种情况不适宜进行"变调",也不便于演奏和声。十二平均律则彻底取消了三分损益法得出的差数。

  在朱载堉发表十二平均律理论之后52年,Pere Marin Mersenne在(1636年)其所著《谐声通论》中发表相似的理论。

  德国作曲家巴赫于1722年发表的《谐和音律曲集》(另或译为《十二平均律曲集》英文:《The 48》),有可能就是为十二平均律的键盘乐器所著。

  明朝中叶,皇族世子朱载堉发明以珠算开方的办法,求得律制上的等比数列,具体说来就是:用发音体的长度计算音高,假定黄钟正律为1尺,求出低八度的音高弦长为2尺,然后将2开12次方得频率公比数1.059463094,该公比自乘12次即得十二律中各律音高,且黄钟正好还原。用这种方法第一次解决了十二律自由旋宫转调的千古难题,他的“新法密律”(即十二平均律)已成为人类科学史上最重要的发现之一。

  十二平均律的物理解释

  这种律制包括了乐音的标准音高、乐音的有关法则和规律。钢琴键盘上共有黑、白键88个,就是根据十二平均律的原理制作的。朱载堉的“十二平均律”理论对世界音乐理论有重大贡献。直到一百多年之后,德国音乐家威尔克迈斯特才提出了同样的理论。19世纪末,比利时音响学家马容曾按朱载育发明的这种方法时行实验,得出的结论与朱完全相同。

  三分损益律、纯律、十二平均律,在中国同时存在。因此,也就出现异律并用的情况。在历史上,南朝宋、齐时清商乐的平、清、瑟三调和隋、唐九、十部乐的清乐中,都是琴、笙与琵琶并用;宋人临五代周文矩《宫中图》卷中的琴阮合奏,其时,琴上所用应是纯律,笙上所用当为三分损益律,琵琶与阮是平均律。可见,南北朝、隋唐、五代,都存在三律并用的情况。在现存的许多民间乐种中,也有琴、笙、琵琶、阮等乐器的合奏。因此,这种三律并用就成了中国传统音乐中存在的一。

  十二平均律的半音,比五度相生律的半音大,比纯律小。因此,使用十二平均律奏和弦不纯,奏旋律导向性不够,所以在乐曲的演奏中,尤其在乐队多声部合奏的时候,实际上是多律并用的,根据实际情况,在演奏过程中,偏向一种律制,并不是一成不变的。

  学过高中物理的都知道,声音的本质是空气的振动。而空气的振动是以波的形式传播的,也就是所谓的声波。所有的波(包括声波、电磁波等等)都有三个最本质的特性:频率/波长、振幅、相位。对于声音来说,声波的频率(声学中一般不考虑波长)决定了这个声音有多“高”,声波的振幅决定了这个声音有多“响”,而人耳对于声波的相位不敏感,所以研究音乐时一般不考虑声波的相位问题。

  律学当然不考虑声音有多“响”,所以律学研究的重点就是声波的频率。一般来说,人耳能听到的声波频率范围是20HZ(每秒振动20次)到20000HZ(每秒振动20000次)之间。声波的频率越大(每秒振动的次数越多),听起来就越“高”。频率低于20HZ的叫“次声波”,高于20000HZ的叫“超声波”。

  需要特别指出的是,人耳对于声波的频率是指数敏感的。打比方说,100HZ、200HZ、300HZ、400HZ …… 这些声音,人听起来并不觉得它们是“等距离”的,而是觉得越到后面,各个音之间的“距离”越近。100HZ、200HZ、400HZ、800HZ …… 这些声音,人听起来才觉得是“等距离”的(为什么会这样我也不清楚)。换句话说,某一组声音,如果它们的频率是严格地按照×1、×2、×4、×8 ……,即按2n的规律排列的话,它们听起来才是一个“等差音高序列”。(比如这里有16个音,它们的频率分别是110HZ的1倍、2倍、3倍 …… 16倍。大家可以听一下,感觉它们是不是音越高就“距离”越近。用音乐术语来说,这些音都是110HZ的“谐波”(harmonics),即这些声波的频率都是某一个频率的整数倍。)

  由于人耳对于频率的指数敏感,上面提到的“×2就意味着等距离”的关系是音乐中最基本的关系。用音乐术语来说,×2就是一个“八度音程”(octave)。前面提到的do、re、mi中的do,以及so、la、si后面的那个高音do,这两个do之间就是八度音程的关系。也就是说,高音do的频率是do的两倍。同样的,re和高音re之间也是八度音程的关系,高音re的频率是re的两倍。而高音do上面的那个更高音的do,其频率就是do的4倍。也可以说,它们之间隔了两个“八度音程”。显然,一个音的所有“八度音程”都是它的“谐波”,但不是它的所有“谐波”都是自己的“八度音程”。

  很自然,用do、re、mi写的歌,如果换用高音do、高音re、高音mi来写,听众只会觉得音变高了,旋律本身不会有变化。这种等效性,其实就是“等差音高序列”的直接结果。

  “八度音程”的重要性,世界各地的人们都发现了。比如我国浙江的河姆渡遗址,曾经出土了一管距今9000年的笛子(是用鹤的腿骨做的),它能演奏8个音符,其中就包含了一个八度音程。当然这个八度音程不会是do到高音do,因为只要是一个音的频率是另一个的两倍,它们就是八度音程的关系,和具体某一个音有多高没有关系。

  明白了八度音程的重要性,下面来介绍在一个八度音程之内,还有那些音是重要的。这其实是律学的中心问题。也就是说,如果某一个音的频率是F,那么我们要寻找F和2F之间还有那些重要的频率。

  如果大家有学习弦乐器(比如吉它、古琴、小提琴)的经验的话,都明白它们能发声是因为琴弦的振动。而琴弦的振动是和琴弦的长度有关系的。如果在一根弦振动的时候,用手指按住弦的中点,即让原来全部振动的弦,变成两根以1/2长度振动的弦,我们会听到一个比较高的音。这个音和原来的音之间就是八度音程的关系。因为在物理上,弦的振动频率和其长度是成反比的。

  由于弦乐器是世界各地发展得最早的乐器种类之一,所以这种现象古人早已熟悉。他们自然会想:如果八度音程的2:1的关系在弦乐器上用这么简单一按中点的方式就能实现,那么试试按其它的位置会怎么样呢?数学上2:1是最简单的比例关系了,简单性仅次于它的就是3:1。那么,我们如果按住弦的1/3点,会怎么样呢?其结果是弦发出了两个高一些的音。一个音的频率是原来的3倍(因为弦长变成了原来的1/3),另一个音是原来的3/2倍(因为弦长变成了原来的2/3)。这两个音彼此也是八度音程的关系(因为它们彼此的弦长比是2:1)。这样,在我们要寻找的F——2F的范围内,出现了第一个重要的频率,即3/2F。(那个3F的频率正好处于下一个八度,即2F——4F中的同样位置。)

  接着再试,数学上简单性仅次于3:1的是4:1,我们试试按弦的1/4点会怎样?又出现了两个音。一个音的频率是原来的4倍(因为弦长变成了原来的1/4),这和原来的音(术语叫“主音”)是两个八度音程的关系,可以不去管它。另一个音的频率是主音的4/3倍(因为弦长是原来的3/4)。我们又得到了一个重要的频率,4/3F。同一根弦,在不同的情况下振动,可以发出很多频率的声音。在听觉上,与主音F最和谐的就是3/2F和4/3F(除了主音的各个八度之外)。这个现象也被很多民族分别发现了。比如最早从数学上研究弦的振动问题的古希腊哲学家毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前6世纪)。我国先秦时期的《管子·地员篇》、《吕氏春秋·音律篇》也记载了所谓“三分损益律”。具体说来是取一段弦,“三分损一”,即均分弦为三段,舍一留二,便得到3/2F。如果“三分益一”,即弦均分三段后再加一段,便得到4/3F。

  得到这两个频率之后,是否继续找1/5点、1/6点等等继续试下去呢?不行,因为听觉上这些音与主音的和谐程度远不及3/2F、4/3F。实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了。古人于是换了一种方法。与主音F最和谐的3/2F已经找到了,他们转而找3/2F的3/2F,即与最和谐的那个音最和谐的音,这样就得到了(3/2)2F即9/4F。可是这已经超出了2F的范围,进入了下一个八度。没关系,不是有“等差音高序列”吗?在下一个八度中的音,在这一个八度中当然有与它等价的一个音,于是把9/4F的频率减半,便得到了9/8F。

  接着把这个过程循环一遍,找3/2的3次方,于是就有了27/8F,这也在下一个八度中,再次频率减半,得到了27/16F。

  就这样一直循环找下去吗?不行,因为这样循环下去会没完没了的。我们最理想的情况是某一次循环之后,会得到主音的某一个八度,这样就算是“回到”了主音上,不用继续找下去了。可是(3/2)n,只要n是自然数,其结果都不会是整数,更不用说是2的某次方。律学所有的麻烦就此开始。

  数学上不可能的事,只能从数学上想办法。古人的对策就是“取近似值”。他们注意到(3/2)5≈7。59,和23=8很接近,于是决定这个音就是他们要找的最后一个音,比这个音再高一点就是主音的第三个八度了。这样,从主音F开始,我们只需把“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环5次,得到了5个音,加上主音和4/3F,一共是7个音。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

  这7个音符的频率,从小到大分别是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。如果这里的F是do,那么9/8F就是re、81/64F就是mi …… ,这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字,在西方音乐术语中,它们分别被叫做主音(tonic)、上主音(supertonic)、中音(mediant)、下属音(subdominant)、属音(dominant)、下中音(submediant)、导音(leading tone)。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa,原因前面已经说过了,因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的,而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”,所以这种音律叫做“五度相生律”。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯(所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning),东方是《管子》一书的作者(不一定是管仲本人)。我国历代的各种音律,大部分也都是从“三分损益律”发展出来的,也可以认为它们都是“五度相生律”。

  仔细看上面“五度相生律”7声音阶的频率,可以发现它们彼此的关系很简单:do——re、re——mi、fa——so、so——la、la——si之间的频率比都是9:8,这个比例被称为全音(tone);mi——fa、si——do 之间的频率比都是256:243,这个比例被称为半音(semitone)。“五度相生律”产生的7声音阶,自诞生之日起就不断被批评。原因之一就是它太复杂了。前面说过,如果按住弦的1/5点或者1/6点,得到的音已经和主音不怎么和谐了,居然出现了81/64和243/128这样的比例,这不会太好听吧?于是有人开始对这7个音的频率做点调整,于是就出现了“纯律”(just intonation)。

  “纯律”的重点是让各个音尽量与主音和谐起来,也就是说让各个音和主音的频率比尽量简单。“纯律”的发明人是古希腊学者塔壬同(今意大利南部的塔兰托城)的亚理斯托森努斯(Aristoxenus of Tarentum)。(东方似乎没有人独立提出“纯律”的概念。)此人是亚理士多德的学生,约生活在公元前3世纪。他的学说的重点就是要靠耳朵,而不是靠数学来主导音乐。他的书籍留下来的只有残篇,不过可以证实的是他提出了所谓“自然音阶”。

  自然音阶也有7个音,但和“五度相生律”的7声音阶有不小差别。7个自然音阶的频率分别是:F、9/8F、5/4F、4/3F、3/2F、5/3F、15/8F。确实简单多了吧?也确实好听多了。这么简单的比例,就是“纯律”。

  可以看出“纯律”不光用到了3/2的比例,还用到了5/4的比例。新的7个频率中和原来不同的就是5/4F、5/3(=5/4×4/3)F、15/8(=5/4×3/2)F。

  虽然“纯律”的7声音阶比“五度相生律”的7声音阶要好听,数学上也简单,但它本身也有很大的问题。虽然各个音和主音的比例变简单了,但各音之间的关系变复杂了。原来“五度相生律”7声音阶之间只有“全音”和“半音”2种比例关系,如今出现了3种:9:8(被叫做“大全音”,major tone,就是原来的“全音”)、10:9(被叫做“小全音”,minor tone)、16:15(新的“半音”)。各位把自然音阶的频率互相除一下就能得到这个结果。更进一步说,如果比较自然音阶中的re和fa,其频率比是27/32,这也不怎么简单,也不怎么好听呢!所以说“纯律”对“五度相生律”的修正是不彻底的。事实上,“纯律”远没有“五度相生律”流行。

  对于“五度相生律”的另一种修正是从另一个方向展开的。还记得为什么要取7个音符吗?是因为(3/2)5≈7。59,和23=8很接近。可这毕竟是近似值,而不是完全相等。在一个八度之内,这么小的差距也许没什么,但是如果乐器的音域跨越了好几个八度,那么这种近似就显得不怎么好了。于是人们开始寻找更好的近似值。通过计算,古人发现(3/2)12≈129。7,和27=128很接近,于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次,便认为已经到达了主音的第7个八度。再加上原来的主音和4/3F,如今就有了12个音符。注意,“规范”音阶不是do、re、mi …… 等7个音符了,而是12个音符。这种经过修改的“五度相生律”推出的12声音阶,其频率分别是:F、2187/2046F、9/8F、19683/16384F、81/64F、4/3F、729/512F、3/2F、6561/4096F、27/16F、59049/32768F、243/128F。

  和前面的“五度相生律”的7声音阶对比一下,可以发现原来的7个音都还在,只是多了5个,分别插在它们之间。用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出来的5个音符于是被叫做C#(读做“升C”)、D#、F#、G#、A#。12音阶不能用do、re、mi的叫法了,应该被叫做:C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相邻两个音符的频率互相除一下,就会发现它们之间的比例只有两种:256:243(就是原来的“半音”,也叫做“自然半音”),2187:2048(这被叫做“变化半音”)。也就是说,这12个音符几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的“距离”几乎是相等的。(当然,如果相邻两个音符之间的比例只有一种的话,就是严格的“距离”相等了。)原来的7声音阶中,C——D、D——E、F——G、G——A、A——B之间都相隔一个“全音”,如今则认为它们之间相隔了两个“半音”。这也就是“全”、“半”这种叫法的根据。

  既然C#被认为是从C“升”了半音得到的,那么C#也可以被认为是从D“降”了半音得到的,所以C#和Db(读做“降D”)就被认为是等价的。事实上,5个新加入的音符也可以被写做:Db、Eb、Gb、Ab、Bb。

  这种12声音阶在音乐界的地位,我只用举一个例子就能说明了。钢琴上的所有白键对应的就是原来7声音阶中的C、D …… B,所有的黑键对应的就是12声音阶中新加入的C#、Eb …… Bb。

  从7声音阶发展到12声音阶的做法,在西方和东方都出现得很早。《管子》中实际上已经提出了12声音阶,后来的中国音律也大多是以“五度相生律”的12声音阶为主。毕达哥拉斯学派也有提出这12声音阶的。不过西方要到中世纪晚期才重新发现它们。

  能不能把“五度相生律”的12声音阶再往前发展一下呢?可以的。12声音阶的依据就是(3/2)12≈129。7,和27=128很接近,按照这个思路,继续找接近的值就可以了嘛。

  还有人真地找到了,此人就是我国西汉的著名学者京房(77 BC-47 BC)。他发现(3/2)53≈2。151×109,和231≈2。147×109也很接近,于是提出了一个53音阶的新音律。要知道古人并没有我们的计算器,计算这样的高次幂问题对他们来说是相当麻烦的。

  当然,京房的新律并没有流行开,原因就是53个音阶也太麻烦了吧!开始学音乐的时候要记住这么多音符,谁还会有兴趣哦!但是这种努力是值得肯定的,也说明12声音阶也不完美,也确实需要改进。

  “五度相生律”的12声音阶中的主要问题是,相邻音符的频率比例有两种(自然半音和变化半音),而不是一种。而且两种半音彼此差距还不小。(2187:2048)/(256:243)≈1.014。好像差不多哦?但其实自然半音本身就是256:243≈1.053了。

  如果12声音阶是真正的“等差音高序列”的话,每个半音就应该是相等的,各个音阶就应该是“等距离”的。也就是说,真正的12声音阶可以把一个八度“等分”成12份。为什么这么强调“等分”、“等距离”呢?因为在音乐的发展过程中,人们越来越觉得有“转调”的必要了。

  所谓转调,其实就是用不同的音高来唱同一个旋律。比方说,如果某一个人的音域是C——高音C(也就是以前的do——高音do),乐器为了给他伴奏,得在C——高音C之内弹奏旋律;如果另一个人的音域是D——高音D(也就是以前的re——高音re),乐器得在D——高音D之内弹奏旋律。可是“五度相生律”的12声音阶根本不是“等差音高序列”,人们会觉得C——高音C之内的旋律和D——高音D之内的旋律不一样。特别是如果旋律涉及到比较多的半音,这种不和谐就会很明显。可以说,如果钢琴是按“五度相生律”来决定各键的音高,那么只要旋律中涉及到许多黑键,弹出来的效果就会一塌糊涂。

  这种问题在弦乐器上比较好解决,因为弦乐器的音高是靠手指的按压来决定的。演奏者可以根据不同的音域、旋律的要求,有意地不在规定的指位上按弦,而是偏移一点按弦,就能解决问题。可是键盘乐器(比如钢琴、管风琴、羽管键琴等)的音高是固定的,无法临时调整。所以在西方中世纪的音乐理论里,就规定了有些调、有些音是不能用的,有些旋律是不能写的。而有些教堂的管风琴,为了应付可能出现的各种情况,就预先准备下许多额外的发音管。以至于有的管风琴的发音管有几百甚至上万根之多。这种音律规则上的缺陷,导致一方面作曲家觉得受到了限制,一方面演奏家也觉得演奏起来太麻烦。

  问题的根源还是出在近似值上。“五度相生律”所依据的(3/2)12毕竟和27并不完全相等。之所以会出现两种半音,就是这个近似值造成的。

  对“五度相生律”12声音阶的进一步修改,东、西方也大致遵循了相似的路线。比如东晋的何承天(370 AD-447 AD),他的做法是把(3/2)12和27之间的差距分成12份,累加地分散到12个音阶上,造成一个等差数列。可惜这只是一种修补工作,并没有从根本上解决问题。西方的做法也是把(3/2)12和27之间的差距分散到其它音符上。但是为了保证主音C和属音G的3/2的比例关系(这个“纯五度”是一个音阶中最重要的和谐,即使是在12声音阶中也是如此),这种分散注定不是平均的,最好的结果也是12音中至少有一个“不在调上”。如果把差距全部分散到12个音阶上的话,就必须破坏C和G之间的“纯五度”,以及C和F之间的4/3比例(术语是“纯四度”)。这样一来,虽然方便了转调,但代价就是音阶再也没有以前好听了。因为一个八度之内最和谐的两个关系 ―― 纯五度和纯四度 ―― 都被破坏了。

  一直到文艺复兴之前,西方音乐界通行的律法叫“平均音调律”(Meantone temperament),就是在保证纯五度和纯四度尽量不受影响的前提下,把(3/2)12和27之间的差距尽量分配到12个音上去。这种折衷只是一种无可奈何的妥协,大家其实都在等待新的音律出现。

  终于还是有人想到了彻底的解决办法。不就是在一个八度内均分12份吗?直接就把2:1这个比例关系开12次方不就行了?也就是说,真正的半音比例应该是2^1/12。如果12音阶中第一个音的频率是F,那么第二个音的频率就是21/12F,第三个音就是2^2/12F,第四个音是2^3/12F,…… ,第十二个是2^11/12F,第十三个就是2^12/12F,就是2F,正好是F的八度。 这是“转调”问题的完全解决。有了这个新的音律,从任何一个音弹出的旋律可以复制到任何一个其它的音高上,而对旋律不产生影响。西方巴洛克音乐中,复调音乐对于多重声部的偏爱,有了这个新音律之后,可以说不再有任何障碍了。后来的古典主义音乐,也间接地受益匪浅。可以说没有这个新的音律的话,后来古典主义者、浪漫主义者对于各种音乐调性的探索都是不可能的。

  这种新的音律就叫“十二平均律”。首先发明它的是一位中国人,叫朱载堉(yù)。他是明朝的一位皇室后代,生于1536年,逝世于1611年。他用珠算开方的办法(珠算开12次方,难度可想而知),首次计算出了十二平均律的正确半音比例,其成就见于所著的《律学新书》一书。很可惜,他的发明,和中国古代其它一些伟大的发明一样,被淹没在历史的尘埃之中了,很少被后人所知。

  西方人提出“十二平均律”,大约比朱载堉晚50年左右。不过很快就传播、流行开来了。主要原因是当时西方音乐界对于解决转调问题的迫切要求。当然,反对“十二平均律”的声音也不少。主要的反对依据就是“十二平均律”破坏了纯五度和纯四度。不过这种破坏程度并不十分明显。

  “十二平均律”的12声音阶的频率(近似值)分别是:F(C)、1.059F(C#/Db)、1.122F(D)、1.189F(D#/Eb)、1.260F(E)、1.335F(F)、1.414F(F#/Gb)、1.498F(G)、1.587F(G#/Ab)、1.682F(A)、1.782F(A#/Bb)、1.888F(B)。

  注意,所有的半音都一样了,都是21/12,即1.059。以前的自然半音和变化半音的区别没有了。另外,原来“五度相生律”的12音阶中,C和G的比例是3/2(即纯五度),“十二平均律”的12音阶中,C和G的比例是1.498,和纯五度所要求的3/2(1.5)非常接近。原来“五度相生律”的12音阶中,C和F的比例是4/3(即纯四度),“十二平均律”的12音阶中,C和F的比例是1.335,和纯四度所要求的4/3(1.333)也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解决了转调问题,所以后来“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的统治地位。钢琴就是按“十二平均律”来确定各键音高的。学生们学习的do、re、mi也是按“十二平均律”修改过的7声音阶。如果想听“五度相生律”或者“纯律”的do、re、mi,已经很不容易了。

  频率

  将八度音等分为十二等分,其数学意义如下:

  八度音指的是频率加倍(即二倍频率)。因此在八度音中分为十二等分乃是分为十二个等比级数,其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方倍()。

  十二平均律中各音的频率(0.00001 Hz)

  C4: 261.62557 Hz

  #C4: 277.18263 Hz

  D4: 293.66477 Hz

  #D4: 311.12698 Hz

  E4: 329.62756 Hz

  F4: 349.22823 Hz

  #F4: 369.99442 Hz

  G4: 391.99544 Hz

  #G4: 415.30470 Hz

  A4: 440.00000 Hz

  #A4: 466.16376 Hz

  B4: 493.88330 Hz

  C3: 523.25113 Hz

  理论上来说,所有乐器的音准只需要仪器来校准。但是实践证明,十二平均律仅仅在中低频率适用于人对音阶感觉,当频率较高时(往往大于1500Hz),人感觉上的音阶较实际计算的十二平均律偏高,所以乐器的调音师是不可被仪器替代的。为了声音的协和,实际上钢琴各个键的音高也并不是严格按照十二平均律来调音的,在中音区,严格按照十二平均律来调音;在高音区,倾向于五度相生律,即半音变小;在低音区,倾向于纯律,半音变宽(音程的大小也就是两个音高的比值,从钢琴的调音曲线上看,高音区音高偏高,低音区偏低,这是为了使声音协和,高音半音减小,低音半音增大,分数的分子和分母同时增大或较小,会引起比值减小或增大,引起半音发生变化,从物理意义上说,主要是琴弦两端的约束造成的)。

  正式的交响乐校音的基本a1的频率往往不是440Hz,为了让音乐更为明亮,交响乐的基准频率一般会提高至442Hz左右。

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